PROBLEMAS DE TANGENCIAS, simplificación de enunciados

¿ Cansado de aprenderte a modo de receta la solución de los problemas de tangencias ? ¿ Y si te dijeran que en realidad todos los enunciados se pueden simplificar llevándolo a uno solo y  resolverlo de la misma forma ? 

Voy a dejar un ejemplo: 

Enunciado 1; (datos: punto, punto, recta) ( PPR)

Hallar la circunferencia tangente a la recta que pasa por dos puntos;

Enunciado 2; ( datos: recta, recta, punto ) ( RRP)

Hallar la circunferencia tangente a las dos rectas r y s,  y que pase por un punto D; 

Este enunciado se convierte en el primero por lo siguiente; 

Por una parte, es evidente que el centro de la circunferencia solución tiene que ser un punto de la bisectriz y , por otra, la circunferencia solución también debe de contener al punto D´ (simétrico de D respecto de la bisectriz). Esta observación permite reducir este problema al anterior y, por tanto se llega a la solución siguiendo los mismos pasos. 

Vas a ver como los dos problemas tienen la misma resolución; Se exponen a continuación las dos soluciones completas. En realidad solo la primera, por que verás como a partir de un momento de solución, el segundo problema se convierte en el primero:

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS PUNTOS Y SON TANGENTES A UNA RECTA (PPR). 

Sabemos que toda circunferencia que pase por dos puntos tiene su centro en la mediatriz del segmento definido por los mismos, por lo que trazaremos la mediatriz del segmento AB. La recta AB debe ser demás, el eje radical de las circunferencias solución y de cualquier otra que pase por los puntos A y B, por lo que trazaremos una circunferencia auxiliar con centro en un punto O cualquiera de la mediatriz que pase por los puntos A y B dados. 

La intersección P de la recta AB con r, por ser del eje radical, debe tener la misma potencia respecto de la circunferencia de centro O y de las circunferencias solución, y las tangentes trazadas desde P a dichas circunferencias deben de medir lo mismo. 

Trazamos, por tanto, la tangente PT a la circunferencia O, y con centro en P trasladamos la longitud del segmento PT sobre la recta, obteniendo los puntos de tangencia T1 y T2 de las circunferencias solución con la recta r. Para hallar sus centros, basta con trazar por los puntos de tangencia perpendiculares a r, que cortarán a la mediatriz de AB en los centros O1 y O2 de las soluciones. 

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS DADAS Y QUE PASEN POR UN PUNTO(RRP). 

Se considera el punto P y las rectas r y s. Por una parte, es evidente que el centro de la circunferencia solución tiene que ser un punto de la bisectriz y , por otra, la circunferencia solución también debe de contener al punto P´ (simétrico de P respecto de la bisectriz). Esta observación permite reducir este problema al anterior y, por tanto se llega a la solución siguiendo los mismos pasos.